Question

【题目】如图，在正四棱柱中，，，点E在上，且.

（1）求异面直线与所成角的正切值：

（2）求证：平面DBE；

（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）根据可知即为所求异面直线所成角，根据直角三角形中的长度关系可求得结果；

（2）以为原点建立空间直角坐标系，根据数量积的坐标运算可证得，，由线面垂直判定定理可证得结论；

（3）由（2）知为平面的一个法向量，求得平面的法向量后，可根据向量夹角公式求得，由二面角的大小可确定最终的余弦值.

（1） 即为异面直线与所成角

在中，，

即异面直线与所成角的正切值为

（2）以为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系

则，，，

，，，

， ，

又，平面 平面

（3）由（2）知：向量为平面的一个法向量

设平面的法向量

则，令，则，

二面角为锐二面角 二面角的余弦值为