Question

【题目】已知函数（是自然对数的底数），．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求的最大值；

（Ⅲ）设，其中为的导函数，证明：对任意，．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由导数几何意义得，又切点为，可得切线方程；（Ⅱ）利用导数判断函数单调性，进而确认极值点，从而确定最大值；（Ⅲ）由，所以对任意，等价于，由（Ⅱ），的最大值为，故，所以，对任意恒成立．

试题解析：（Ⅰ）由，得，

，所以，

所以曲线在点处的切线方程为．

（Ⅱ），，所以．

令得，，因此当时，，单调递增；

当时，，单调递减．

所以在处取得极大值，也是最大值．的最大值为．

（Ⅲ）证明：因为，所以，，等价于．

由（Ⅱ）知的最大值为，故，

只需证明时，成立，这显然成立．

所以，因此对任意，．