Question

如图，以椭圆＋＝1(a＞b＞0)的中心O为圆心，分别以a和b为半径作大圆和小圆．过椭圆右焦点F(c，0)(c＞b)作垂直于x轴的直线交大圆于第一象限内的点A．连结OA交小圆于点B．设直线BF是小圆的切线．

(1)证明c²＝ab，并求直线BF与y轴的交点M的坐标；

(2)设直线BF交椭圆于P、Q两点，证明·＝b²．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)由题设条件，知Rt△OFA∽△Rt△OBF， 　　故，即． 　　因此，c2＝ab． 　　在Rt△OFA中，FA＝＝＝b． 　　于是，直线OA的斜率kOA＝． 　　设直线BF的斜率为k，则k＝． 　　这时，直线BF与y轴的交点为M(0，a)． 　　(2)由(1)，得直线BF的方程为y＝kx＋a，且k2＝．② 　　由已知，设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则它们的坐标满足方程组③ 　　由方程组③消去y，并整理，得(b2＋a2k2)x2＋2a3kx＋a4－a2b2＝0，④ 　　由式②、③和④，x1x2＝＝＝， 　　由方程组③消去x，并整理，得(b2＋a2k2)y2＋2ab2y＋a2b2－a2b2k2＝0，⑤ 　　由式②和⑤，y1y2＝＝＝． 　　综上，得到·＝x1x2＋y1y2＝＋＝． 　　注意到a2－ab＋b2＝a2－c2＋b2＝2b2，得 　　·＝ 　　＝＝＝ 　　＝(a2－ab) 　　＝(a2－c2)＝b2． 　　解析：本小题主要考查椭圆的标准方程的几何性质、直线方程，平面向量、曲线和方程的关系等解析几何的基础知识和基本思想方法，考查推理及运算能力．