Question

【题目】已知抛物线的顶点为，焦点为.

（1）求抛物线的方程；

（2）过点作直线交抛物线于，两点，若直线、分别交直线于，两点，求的最小值.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)

【解析】

（1）由抛物线的几何性质及题设条件焦点F（0，1）可直接求得p，确定出抛物线的开口方向，写出它的标准方程；

（2）由题意，可A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y＝kx+1，将直线方程与（1）中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN|，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值．

（1）由已知可设抛物线的方程为：，则.

所以抛物线的方程是.

（2）设，，所以，，所以直线的方程是：.

由，∴，同理由，∴.

所以.①

设，由∴，

∴

且，代入①得到：

，

设，，则，

①当时，

；

②当时，

，

当时，取得最小值，此时，；

综上所述：的最小值是.