Question

【题目】已知函数，和直线m：，且．

求a的值；

是否存在k的值，使直线m既是曲线的切线，又是曲线的切线？如果存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) a=-2 (2) 公切线是y=9,此时k=0

【解析】

（1）计算f′(x)，进而由f′(－1)＝0可得解；

（2）直线m是曲线y＝g(x)的切线，设切点为(x0,3＋6x0＋12)，由导数得切线斜率，进而得切线方程，带入(0,9) 得x0＝±1，再分别计算当f′(x)＝0或f′(x)＝12时的切线，进而找到公切线.

(1)f′(x)＝3ax2＋6x－6a，f′(－1)＝0.

即3a－6－6a＝0，∴a＝－2.

(2)存在．

∵直线m恒过定点(0,9)，直线m是曲线y＝g(x)的切线，

设切点为(x0,3＋6x0＋12)，

∵g′(x0)＝6x0＋6，∴切线方程为y－(3＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，

将点(0,9)代入，得x0＝±1.

当x0＝－1时，切线方程为y＝9；

当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.

由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0.

即有x＝－1或x＝2，

当x＝－1时，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；

当x＝2时，y＝f(x)的切线方程为y＝9.

∴公切线是y＝9.

又令f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，

∴x＝0或x＝1.

当x＝0时，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；

当x＝1时，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，

∴公切线不是y＝12x＋9.

综上所述公切线是y＝9，此时k＝0.