Question

【题目】数列：，，，…，，…，对于给定的（，），记满足不等式：（，）的构成的集合为．

（Ⅰ）若数列，写出集合；

（Ⅱ）如果（，）均为相同的单元素集合，求证：数列，，…，，…为等差数列；

（Ⅲ）如果（，）为单元素集合，那么数列，，…，，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）是等差数列，证明见解析．

【解析】

（Ⅰ）由题意得，，分和两类讨论解出不等式，再根据的定义即可求出；

（Ⅱ）由题意，若中均只有同一个元素，不妨设为，当时，由题意可得，当时，有，则成立，从而得出证明；

（Ⅲ）不妨设，，，，由题意可得，，则，则；设，则，则，首先证时的情况，不妨设，由，为单元素集，则；再证，由和的定义可证，则，则存在正整数使得，而，得出矛盾，从而，同理可证，由此可得结论．

（Ⅰ）解：由题意得，为满足不等式的构成的集合，

∵数列，

∴，即，

当时，上式可化为，

当时，上式可化为，得，

∴；

（Ⅱ）证：对于数列：，，，…，，…，

若中均只有同一个元素，不妨设为，

下面证明数列为等差数列，

当时，有，①

当时，有，②

∵①②两式对任意大于1的整数均成立，

∴成立，

∴数列，，…，，…为等差数列；

（Ⅲ）解：对于数列：，，…，，…，

不妨设，，，，

由，知，

由，知：，即，

∴，∴；

设，则，

这说明，则，

∵对于数列，中均只有一个元素，

首先证时的情况，不妨设，

∵，又为单元素集，∴，

再证，证明如下：

由的定义可知：，，∴，

由的定义可知，

∴，∴，

∵，∴，

则存在正整数，使得，③

∵，

∴，这与③矛盾，

∴，

同理可证，即，

∴数列，，…，，…还是等差数列．