Question

【题目】已知椭圆的上顶点为，以为圆心椭圆的长半轴为半径的圆与轴的交点分别为，．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设不经过点的直线与椭圆交于，两点，且，试探究直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）

（2）直线过定点，该定点的坐标为

【解析】

利用椭圆性质，求椭圆的方程；根据题中要求，先将直线QA,PA方程设出来，再与椭圆联立方程，分别求出Q,P两点坐标，根据P,Q写出直线方程l,然后分析它的定点问题

解：（1）依题意知点的坐标为，则以点圆心，以为半径的圆的方程为令得，由圆与轴的交点分别为，，

可得，解得，故所求椭圆的标准方程为．

（2）由得，可知的斜率存在且不为．

设直线①，则②．

将①代入椭圆方程并整理，得，可得，则

同理，可得，．

由直线方程的两点式，得直线的方程为，即直线过定点，该定点的坐标为．