Question

【题目】为改善居民的生活环境，政府拟将一公园进行改造扩建.已知原公园是直径为200 m的半圆形，出入口在圆心O处，A为居民小区，OA的距离为200 m，按照设计要求，以居民小区A和圆弧上点B的连线为一条边向半圆外作等腰直角三角形ABC（C为直角顶点），使改造后的公园如图中四边形OACB所示.

（1）若，则C与出入口O之间的距离为多少米？

（2）的大小为多少时，公园OACB的面积最大？

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）当时，设，在中可表示，进而可表示，则在中利用余弦定理即可得结果；

（2）设，利用余弦定理得到以三角形的面积公式得到关于的面积表达式，结合三角函数求最值.

（1）设，由题可知.由，，，

得，，，.

在中，.

，则.

故C与出入口O之间的距离为.

（2）设，则，

，，

，

∴当，即时，公园OACB的面积最大为.