Question

【题目】如图，为矩形的边上一点，且，将沿折起到，使得.

（1）证明：平面平面；

（2）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）取，的中点，，连接，，，则，由题意可知，，，从而证明平面，即根据线面垂直的判定定理证明平面，再利用线面垂直的性质定理证明面面垂直即可.

（2）以为原点，，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.求解平面的法向量，平面的法向量，再根据，计算二面角余弦值，即可.

（1）取，的中点，，连接，，，则

，

，.

又在矩形中

又，平面，平面

平面

平面

又与为梯形的两腰，必相交，平面，平面

平面，

又平面

平面平面.

（2）∵，

∴.

过点作，交与，则，，

以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

则各点坐标为，，，.

设平面的法向量为，则，

，即，，取，则

设平面的法向量为，则，

，即，，取，则，

即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.