Question

【题目】已知下列两个命题，命题甲：平面α与平面β相交；命题乙：相交直线l，m都在平面α内，并且都不在平面β内，直线l，m中至少有一条与平面β相交．则甲是乙的（　 　）

A.充分且必要条件B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件

Answer 1

【答案】A

【解析】

由题意此问题等价于判断：①命题：已知相交直线和都在平面内，且都不在平面内，若，中至少有一条与相交，则平面与平面相交；②命题：已知相交直线和都在平面内，并且都不在平面内，若与相交，则，中至少有一条与相交这两个命题的真假；分别判断分析可得答案．

解：由题意此问题等价于判断

①命题：已知相交直线和都在平面内，且都不在平面内，若，中至少有一条与相交，则平面与平面相交，

②命题：已知相交直线和都在平面内，并且都不在平面内，若与相交，则，中至少有一条与相交的真假；

对于①命题此处在证明必要性，因为平面内两相交直线和至少一个与相交，不妨假设直线与相交，交点为，则属于同时属于面，所以与有公共点，且由相交直线和都在平面内，并且都不在平面可知平面与必相交故①命题为真

对于②命题此处在证充分性，因为平与相交，且两相交直线和都在平面内，且都不在平面内，若，都不与相交，则，平行平面，那么，这与相交矛盾，故②命题也为真．

故选：A．