Question

【题目】已知函数，.

（1）判断函数在区间上的零点的个数；

（2）记函数在区间上的两个极值点分别为、，求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】

（1）利用导数分析函数在区间上的单调性与极值，结合零点存在定理可得出结论；

（2）设函数的极大值点和极小值点分别为、，由（1）知，，且满足，，于是得出，由得，利用正切函数的单调性推导出，再利用正弦函数的单调性可得出结论.

（1），，

，当时，，，，则函数在上单调递增；

当时，，，，则函数在上单调递减；

当时，，，，则函数在上单调递增.

，，，，.

所以，函数在与不存在零点，在区间和上各存在一个零点.

综上所述，函数在区间上的零点的个数为；

（2），.

由（1）得，在区间与上存在零点，

所以，函数在区间与上各存在一个极值点、，且，，

且满足即，，

，

又，即，，

，，，

由在上单调递增，得，

再由在上单调递减，得

，即.