Question

【题目】已知椭圆以抛物线的焦点为顶点，且离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆相交于、两点，与直线相交于点，是椭圆上一点且满足（其中为坐标原点），试问在轴上是否存在一点，使得为定值？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，且定点的坐标为.

【解析】

（1）求出抛物线的焦点坐标可得出的值，由椭圆的离心率可得的值，进而可得出的值，由此可求得椭圆的方程；

（2）设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出点的坐标，由点在椭圆上得出，并求出点的坐标，设点，计算出，由为定值求出，由此可求得定点的坐标.

（1）抛物线的焦点坐标为，

由题意可知，且，，则，

因此，椭圆的方程为；

（2）设点、，

联立，消去并整理得，

由韦达定理得，则，

，即点，

由于点在椭圆上，则，化简得，

联立，得，则点，

设在轴上是否存在一点，使得为定值，，

为定值，

则，得，

因此，在轴上存在定点，使得为定值.