Question

【题目】给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.

（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；

（2）设椭圆短轴的一个端点为，长轴的一个端点为，点 是“准圆”上一动点，求三角形面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）， .（2）

【解析】

（1）根据焦点为，短轴上的一个端点到的距离为,得到,可得,进而可得其“准圆”方程；

（2）写出直线方程，由题知要使得三角形面积最大，则过点的直线与直线平行且于圆相切，求出过并且与圆相切的直线，选取离直线更远的那条直线，求出两直线的距离，利用面积公式可得三角形面积的最大值．

解：（1）由题可知，

椭圆方程为，

准圆方程为.

（2）设椭圆短轴的一个端点为，长轴的一个端点为，

那么直线方程为，即

要使得三角形面积最大，则过点的直线与直线平行且与圆相切.

设过点的直线：，

因为直线与圆相切，所以.

所以，

当时，直线距离直线更远，此时三角形面积最大，

即直线：

此时直线与直线的距离为

所以三角形面积最大值