Question

【题目】已知抛物线与直线只有一个公共点，点是抛物线上的动点.

（1）求抛物线的方程；

（2）①若，求证：直线过定点；

②若是抛物线上与原点不重合的定点，且，求证：直线的斜率为定值，并求出该定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）①证明见解析②证明见解析，

【解析】

（1）联立抛物线与直线方程,再根据二者只有一个交点可得,即可求解；

（2）①设,,由直线斜率公式代入可得,由直线的斜率公式可得,进而将代入直线的方程,化简后即可求解；②设,,利用直线斜率公式代入中化简可得,即,再根据直线斜率公式求解即可.

解:（1）与联立得,

因为抛物线与直线只有一个公共点,

所以,即,

所以抛物线的方程为.

（2）①证明:设,,则,

所以,又,

所以直线的方程为,

即,

当时,所以直线过定点.

②证明:设,,

则,

即,

所以,则,

所以直线的斜率为,

因为为定点,

所以直线的斜率为定值.