Question

【题目】设函数，．

（1）当时，求函数在上的最小值；

（2）若函数在上存在零点，证明：．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）先求出，分类讨论，当和时，函数在上的单调性，即可求出函数在上的最小值；

（2）分离参数后，得，令，分类讨论求解的最小值，即可求出参数的取值范围．

（1）因为，所以，

当时，因为，所以，则函数在上单调递减，故函数在上的最小值为；

当时，若，则，若，则，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故函数在上的最小值为．

综上，当时，函数在上的最小值为；

当时，函数在上的最小值为．

（2）由题意可得，当时，有解，即有解．

令，则．

设，则，

所以在上单调递增，

又，所以在上有唯一的零点，即在上有唯一的零点，设为，则，

当时，单调递减，当时，，单调递增，

所以在上的最小值为，

又，即，所以，

因为在上有解，所以，即．