Question

【题目】将数列的前n项和分成两部分，且两部分的项数分别是i，，若两部分的和相等，则称数列的前n项和能够进行等和分割．

若，，试写出数列的前4项和的所有等和分割；

求证：等差数列的前项和能够进行等和分割；

若数列的通项公式为：，且数列的前n项和能进行等和分割，求所有满足条件的n．

Answer 1

【答案】（1），或（2）证明见解析（3）或，

【解析】

)利用通项公式求出前4项的值，利用定义进行分割即可．

由等差数列的性质知，，即可证明.

由前n项和能分出两部分，两部分的和相等可知，数列的前n项和为偶数，可得或进一步利用分类讨论思想，结合（2）的结论即可求解．

解：由数列，，

得，，，，

则数列的前4项和的所有等和分割为，或．

因为数列为等差数列，

所以．

将上述2k个两式子分成两部分，则和相等．

所以等差数列的前4k项和能进行等和分割；

因为数列的通项公式为：，且数列的前n项和能进行等和分割，

所以数列的前n项和为偶数，

所以或．

当时，由得知，数列可以进行等和分割．

当时，首先考虑，

则分割成两部分，．

故，即时，前3项能进行等和分割．

当时，前项为：1，2，3，，，，，，，

由得知：，，，，，，能分成等和的两部分，

分别把两部分，进行加入，则两部分和相等．