Question

【题目】数列： 满足： ．记的前项和为，并规定．定义集合， ， ．

（Ⅰ）对数列： ， ， ， ， ，求集合；

（Ⅱ）若集合， ，证明： ；

（Ⅲ）给定正整数．对所有满足的数列，求集合的元素个数的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）．

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据定义求出， ， ， ， ，比较可得．

（Ⅱ）由集合的定义可得是使得成立的最小的k，

所以.又因为 ，由此可证： ；

（Ⅲ）设集合，不妨设，

则由（Ⅱ）可知，

同理，且．所以可证． 因为，所以的元素个数．

试题解析：（Ⅰ）因为， ， ， ， ， ，

所以．

（Ⅱ）由集合的定义知，且是使得成立的最小的k，

所以.

又因为 ，

所以

所以．

（Ⅲ）因为，所以非空．

设集合，不妨设，

则由（Ⅱ）可知，

同理，且．

所以

．

因为，所以的元素个数．

取常数数列： ，并令，

则，适合题意，

且，其元素个数恰为．

综上， 的元素个数的最小值为．