Question

【题目】定义：从数列中抽取项按其在中的次序排列形成一个新数列，则称为的子数列；若成等差（或等比），则称为的等差（或等比）子数列.

（1）记数列的前项和为，已知.

①求数列的通项公式；

②数列是否存在等差子数列，若存在，求出等差子数列；若不存在，请说明理由.

（2）已知数列的通项公式为，证明：存在等比子数列.

Answer 1

【答案】（1）①；②见解析；（2）见证明

【解析】

（1）①先由得到，再由得到通项公式，进而可得出结果；

②假设从数列中抽3项成等差，则，根据等差子数列的概念，即可得出结论；

（2）先假设数列中存在3项，，成等比.设，则，故可设（与是互质的正整数）.根据题意，得到需要，再由题中等比子数列的概念，即可得出结论.

解：（1）①因为，所以当时，，

当时，，所以.

综上可知：.

②假设从数列中抽3项成等差，

则，即，

化简得：.

因为，所以，，且，都是整数，

所以为偶数，为奇数，所以不成立.

因此，数列不存在三项等差子数列.

若从数列中抽项，其前三项必成等差数列，不成立.

综上可知，数列不存在等差子数列.

（2）假设数列中存在3项，，成等比.

设，则，故可设（与是互质的正整数）.

则需满足，

即需满足，则需满足.

取，则.

此时，

.

故此时成立.

因此数列中存在3项，，成等比，

所以数列存在等比子数列.