Question

【题目】两县城和相距，现计划在两县城外位于线段上选择一点建造一个两县城的公共垃圾处理厂，已知垃圾处理厂对城市的影响度与所选地点到城市的的距离关系最大，其他因素影响较小暂时不考虑，垃圾处理厂对城和城的总影响度为对城与城的影响度之和. 记点到城的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为，统计调查表明：垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数2.7；垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为 ；且当垃圾处理厂与城距离为时对城和城的总影响度为0.029.

(1) 将表示成的函数；

(2) 讨论⑴中函数的单调性，并判断在线段上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城和城的总影响度最小？若存在，求出该点到城的距离；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）函数在内单调递减，在内单调递增；在线段AB上存在点符合题意，该点与城的距离.

【解析】

（1）先求出垃圾处理厂对城的影响度比例系数，然后根据题意求与的函数关系；

（2）应用导数求解.

⑴据题意，，，

且建在处的垃圾处理厂对城的影响度为，

对城的影响度为，

因此总影响度．

又因为当垃圾处理厂与城距离为时

对城和城的总影响度为0.029.

所以．

所以．

(2)　因为．

由解得．

由解得

由解得

所以，随的变化情况如下表：

		0
	↘	极小值	↗

由表可知，函数在内单调递减，在内单调递增，

当时，，

故在线段AB上存在点，使得建在此处的垃圾处理厂对城和城的总影响度最小，

该点与城的距离．