Question

【题目】已知数列的前项和为，满足.

（1）求证：数列等差数列；

（2）当时，记，是否存在正整数、，使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数对；若不存在，请说明理由；

（3）若数列、、、、、是公比为的等比数列，求最小正整数，使得当时，.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，有且只有一个为；（3）.

【解析】

（1）由得出，两式相减，推导出，利用等差中项法可证得数列是等差数列；

（2）由，得出，求出、，可求出等差数列的通项公式，进而可得出，假设存在正整数、，使得，化简得出，变形得出，对的取值进行分类讨论，结合数列的单调性的、的值；

（3）求出、，可求出等差数列的通项公式，由题意得出的表达式，进而可得出，设，计算得出，，，，，，设，利用定义证明数列的单调性，由此可证得当时，，进而可证得结论成立.

（1）由题意得，两式相减得，

则有，

所以.

因为，所以，故数列为等差数列；

（2）因为，，

所以，解得；，即，解得.

所以数列的公差为，所以，故.

假设存在正整数、，使得，，成等比数列，则，

于是（*），所以.

当时，，则，所以是方程（*）的一组解；

当且时，因为，

所以，数列在上单调递减，

所以，此时方程（*）无正整数解.

综上，满足题设的数对有且只有一个，为；

（3）由题意得，解得，

故数列的公差，所以，

故，所以.

又因为，所以，即.

记，

则，，，，，，

猜想：当时，.

验证如下：记，

则

，

所以数列单调递增，故，

所以，故最小正整数的值为.