Question

已知函数f（x）=．
（1）证明：函数f（x）既是R上的奇函数，也是R上的增函数；
（2）是否存在m使f（2t²-4）+f（4m-2t）＞f（0）对任意t∈[0，1]均成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据增函数的奇偶性，单调性的定义证明
（2）由（1）知，函数f（x）既是R上的奇函数，∴f（0）=0，f（2t²-4）+f（4m-2t）＞f（0）可转化为f（2t²-4）＞-f（4m-2t），即f（2t²-4）＞f（2t-4m），
又函数f（x）是R上的增函数，∴2t²-4＞2t-4m，即2t²-4-2t+4m＞0，
法一：令g（t）=2t^2_-2t+4m-4，t∈[0，1]，只需g（t）min＞0即可
法二：分离参数m，即m＞，t∈[0，1]令g（t）=，只需m＞g（t）max即可．
解答：解：（1）显然函数的定义域为R，对任意x∈R，都有f（-x）===-=-f（x）
所以函数f（x）既是R上的奇函数．
设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=-==
x₁x₂，∵函数y=2^x是R上的增函数，且x₁＜x₂，∴，，f（x₁）-f（x₂）＜0．即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是R上的增函数；
（2）法一：由（1）知，函数f（x）既是R上的奇函数，∴f（0）=0，f（2t²-4）+f（4m-2t）＞f（0）可转化为f（2t²-4）＞-f（4m-2t），即f（2t²-4）＞f（2t-4m），
又函数f（x）是R上的增函数，∴2t²-4＞2t-4m，即2t²-4-2t+4m＞0，令g（t）=2t^2_-2t+4m-4，t∈[0，1]，抛物线g（t）=2t^2_-2t+4m-4的开口向上，对称轴是t=
，且，所以g（t）min=g（）=4m-，故只需4m-，＞0即可，解得．
法二：由（1）知，函数f（x）既是R上的奇函数，∴f（0）=0，f（2t²-4）+f（4m-2t）＞f（0）可转化为f（2t²-4）＞-f（4m-2t），即f（2t²-4）＞f（2t-4m），
又函数f（x）是R上的增函数，∴2t²-4＞2t-4m，即2t²-4-2t+4m＞0，即m＞，t∈[0，1]令g（t）=，抛物线g（t）=，的开口向下，对称轴是t=，且，所以g（t）max=g（）=，故只需．
存在．使f（2t²-4）+f（4m-2t）＞f（0）对任意t∈[0，1]均成立．
点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性，二次函数的最值鞥基础知识，考查函数与方程，划归与转化，分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括、推理论证和运算求解能力．