Question

【题目】设区间D=[﹣3，3]，定义在D上的函数f（x）=ax3+bx+1（a＞0，b∈R），集合A={a|x∈D，f（x）≥0}．
（1）若b= ，求集合A；
（2）设常数b＜0 ①讨论f（x）的单调性；
②若b＜﹣1，求证：A=．

Answer 1

【答案】
（1）解：当b= 时，f（x）= ，f′（x）= ＞0，

∴f（x）在[﹣3，3]上为增函数，则 = ．

由 ，解得a ．

∴A={a|x∈D，f（x）≥0}=（0， ]

（2）解：①解：f（x）=ax3+bx+1，f′（x）=3ax2+b，

∵a＞0，b＜0，

∴由f′（x）=3ax2+b=0，得 ＞0，则x= ．

若27a+b≤0，则 ，则f′（x）≤0在[﹣3，3]上恒成立，f（x）在[﹣3，3]上为减函数；

若27a+b＞0，则当x∈[﹣3， ）∪（ ，3]时，f′（x）＞0，

当x∈（ ）时，f′（x）＜0．

∴函数的增区间为[﹣3， ），（ ，3]，减区间为（ ）；

②证明：当b＜﹣1时，由①可知，当0＜a≤ 时，f（x）在[﹣3，3]上单调递减，

∴f（x）min=f（3）=27a+3b+1≤﹣b+3b+1=2b+1＜﹣1＜0，

这与x∈D，f（x）≥0恒成立矛盾，故此时实数a不存在；

当a＞﹣ 时，f（x）在[﹣3， ），（ ，3]上递增，在（ ）上递减，

∴f（x）min={f（﹣3），f（ ）}，

若f（﹣3）=﹣27a﹣3b+1＜0，这与x∈D，f（x）≥0恒成立矛盾，故此时实数a不存在；

若f（﹣3）=﹣27a﹣3b+1＞0，令 ，此时f（x1）= ．

又f′（x1）= ，则 ．

f（x1）= = ．

下面证明 ，也即证﹣4b3＞27a，

∵a＞﹣ ，且﹣27a﹣3b+1＞0，即27a＜﹣3b+1．

再证﹣4b3＞﹣3b+1，

令g（b）=4b3﹣3b+1，则g′（b）=12b2﹣3＞0（b＜﹣1），

∴g（b）在（﹣∞，﹣1]上单调递增，则g（b）＜g（﹣1）=0．

即f（x1）＜0，这与x∈D，f（x）≥0恒成立矛盾，故此时实数a不存在．

综上所述，A=

【解析】（1）把b= 代入函数解析式，求出导函数，由f′（x）= ＞0，可知f（x）在[﹣3，3]上为增函数，求出函数的最小值，由最小值大于0求得a的取值范围；（2）①求出函数的导函数，解得导函数的零点，然后根据 与3的关系分类求得函数的单调区间；②当b＜﹣1时，由①可知，当0＜a≤ 时，f（x）在[﹣3，3]上单调递减，求得函数的最小值小于0，这与x∈D，f（x）≥0恒成立矛盾，故此时实数a不存在； 当a＞﹣ 时，由①可得f（x）min={f（﹣3），f（ ）}，若f（﹣3）=﹣27a﹣3b+1＜0，这与x∈D，f（x）≥0恒成立矛盾，故此时实数a不存在；若f（﹣3）=﹣27a﹣3b+1＞0，证明f（ ）＜0，这与x∈D，f（x）≥0恒成立矛盾，故此时实数a不存在．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．