【题目】已知
为坐标原点，抛物线
，点
，设直线
与
交于不同的两点
、
.
（1）若直线
轴，求直线
的斜率的取值范围；
（2）若直线不垂直于
轴，且
，证明：直线过定点.
【答案】（1）
； （2）见解析.
【解析】
（1）先设点P在第一象限时，设出点P的坐标，利用斜率坐标公式，将PA的斜率表示出来，之后对式子进行变形，利用基本不等式求得其范围，从而得到直线PA的斜率的取值范围，同理可得点P落在第四象限时，其斜率的取值范围，之后取并集得到结果.
（2）设出直线的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求得两根的关系，利用两个角的关系，得到两条直线的斜率是互为相反数的，从而得到
，代入直线方程，求得直线过的定点.
（1）当点
在第一象限时，设
，
，
∴
，同理，当点在第四象限时，∴
，综上所述
∴
（2）设直线
的方程为
，联立方程
，得
，
，
设
，
，
，
，
∵
∴
，，
∴
，∴直线恒过定点
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【题目】已知三棱锥
的体积为1.在侧棱
上取一点
，使
，然后在
上取一点
，使
，继续在
上取一点
，使
，……按上述步骤，依次得到点
，记三棱锥
的体积依次构成数列
，数列
的前
项和
.
（1）求数列和的通项公式；
（2）记
，
为数列
的前项和，若不等式
对一切
恒成立，求实数
的取值范围.
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【题目】已知函数f（x）＝lnx
．
（1）若a＝4，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间（0，1]内单调递增，求实数a的取值范围；
（3）若x1、x2∈R+，且x1≤x2，求证：（lnx1﹣lnx2）（x1+2x2）≤3（x1﹣x2）．
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【题目】下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量
(吨)与相应的生产能耗
(吨标准煤)的几组对照数据
|
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（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于
的线性回归方程
；
（2）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据1求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
(附:
，
，
，
，其中
,
为样本平均值)
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【题目】某企业三月中旬生产
，
，
三种产品共3000件，根据分层随机抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：
产品类别 |
|
|
|
产品数量 | 1300 | ||
样本中的数量 | 130 |
由于不小心，表格中，产品的有关数据已被污染得看不清楚，统计员只记得样本中产品的数量比样本中产品的数量多10.根据以上信息，求该企业生产产品的数量.
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【题目】下图是古希腊数学家阿基米德用平衡法求球的体积所用的图形.此图由正方形
、半径为
的圆及等腰直角三角形构成，其中圆内切于正方形，等腰三角形的直角顶点与
的中点
重合，斜边在直线
上.已知
为的中点，现将该图形绕直线
旋转一周，则阴影部分旋转后形成的几何体积为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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【题目】已知圆
，直线
， 
.
（1）求证：对
，直线
与圆
总有两个不同的交点
；
（2）求弦
的中点
的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；
（3）是否存在实数
，使得原
上有四点到直线
的距离为
？若存在，求出
的范围；若不存在，说明理由.
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【题目】某校寒假行政值班安排，要求每天安排一名行政人员值日，现从包含甲、乙两人的七名行政人员中选四人负责四天的轮班值日，在下列条件下，各有多少种不同的安排方法？
（1）甲、乙两人都被选中，且安排在前两天值日；
（2）甲、乙两人只有一人被选中，且不能安排在后两天值日.
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