Question

【题目】函数是实数集R上的奇函数,当时, .

(1)求的值和函数的表达式;

(2)求证:方程在区间上有唯一解.

Answer 1

【答案】(1)f(x)＝;(2)见解析.

【解析】试题分析：(1)根据函数的奇偶性,利用即可解答;根据奇函数的性质求出的解析式,特别注意当时, ;

(2)因为log22＝,所以方程在区间上有根.然后根据函数的单调性证明解的唯一性即可.

试题解析：

(1)函数f(x)是实数集R上的奇函数.

所以f(-1)＝-f(1).

因为当x＞0时,f(x)＝log2x＋x-3,所以f(1)＝log21＋1-3＝-2.

所以f(-1)＝-f(1)＝2.

当x＝0时,f(0)＝f(-0)＝-f(0),解得f(0)＝0,

当x＜0时,-x＞0,所以f(-x)＝log2(-x)＋(-x)-3＝log2(-x)-x-3.

所以-f(x)＝log2(-x)-x-3,从而f(x)＝-log2(-x)＋x＋3.

所以f(x)＝

(2)因为f(2)＝log22＋2-3＝0,所以方程f(x)＝0在区间(0,＋∞)上有解x＝2.

易知在区间(0,＋∞)上为增函数，

由零点存在性定理可知,方程f(x)＝0在区间(0,＋∞)上有唯一解.