Question

【题目】若a＞0，b＞0，且 + = ．
（1）求a3+b3的最小值；
（2）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a＞0，b＞0，且 + = ，

∴ = + ≥2 ，∴ab≥2，

当且仅当a=b= 时取等号．

∵a3+b3≥2 ≥2 =4 ，当且仅当a=b= 时取等号，

∴a3+b3的最小值为4 ．

（2）解：∵2a+3b≥2 =2 ，当且仅当2a=3b时，取等号．

而由（1）可知，2 ≥2 =4 ＞6，

故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．

【解析】（1）由条件利用基本不等式求得ab≥2，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．（2）根据 ab≥4及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平均值不等式的相关知识，掌握平均不等式：,（当且仅当时取号即调和平均几何平均算术平均平方平均）
．