Question

【题目】如图，在三棱柱中，侧面是为菱形，在平面内的射影恰为线段的中点.

（1）求证：；

（2）若，，求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）连接，由线面垂直的判定方法可证得面，从而得到，根据平行关系可证得结论；

（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的空间向量求法可求得结果.

（1）证明：如图，连接，易知.

∵侧面是菱形，∴.

由射影定义可知：面，又面，∴，

而，且，面，∴面，

平面，∴.

∵，∴.

（2）由（1）知：，，，，于是以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示：

不妨设.

∵在菱形中，，∴，.

在中，.

于是，，，，，

∴，，.

又由，可解得：，.

设平面的法向量为，

则由，得，

令，则，，即.

同理可得平面的法向量.

∴，

二面角的平面角为锐角，所求的余弦值为.