Question

【题目】如图，多面体，平面平面，，，，是的中点，是上的点.

（Ⅰ）若平面，证明：是的中点；

（Ⅱ）若，，求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）利用线面平行的性质定理，可以证明出，，利用平行公理可以证明出，由中位线的性质可以证明出N是DP的中点；

（Ⅱ）方法1：在平面ABCD中作于垂足G，过G作于H，连接AH,利用面面垂直和线面垂直，可以证明出为二面角的平面角,在直角三角形中，利用锐角三角函数，可以求出二面角的平面角的余弦值；

方法2：由平面平面PBC，可以得到平面PBC，，

而即，于是可建立如图空间直角坐标系（C为原点），利用空间向量的数量积，可以求出二面角的平面角的余弦值.

（I）设平面平面，

因为平面PBC，平面ADP，所以，

又因为，所以平面PBC，

所以，

所以，

又因为M是AP的中点，所以N是DP的中点.

（II）方法1：

在平面ABCD中作于垂足G，

过G作于H，连接AH（如图），

因为平面平面PBC，，

所以平面PBC，，，，

所以平面PBC，,

所以平面，

所以为二面角的平面角,

易知，，又,

所以在中，易知，，，

所以.

（II）方法2：

因为平面平面PBC，

所以平面PBC，，

而即，

于是可建立如图空间直角坐标系（C为原点），

得，，，

所有，，

设平面APB的法向量为，则

，，

不妨取，得，

可取平面PBC的法向量为，

所求二面角的平面角为，则.