Question

【题目】如图，在三棱柱中，底面,,,.

（1）证明;

（2）求异面直线和所成角的余弦值;

（3）求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）；（3）

【解析】

试题（1）由底面,得;再在三角形中解得,由线面垂直判定定理得,即得;（2）利用空间向量求线线角,首先根据条件建立直角坐标系,设立各点坐标,得异面直线和 方向向量,根据向量数量积求向量夹角,最后根据向量夹角与线线角关系得结果(3) 利用空间向量求二面角,首先根据条件建立直角坐标系,设立各点坐标,根据方程组解得平面法向量,根据向量数量积求两法向量夹角,最后根据向量夹角与二面角关系得结果

试题解析：解（1）在三棱柱中，∵，∴

在中，，，，由正弦定理得，

∴，即。且，为平面内两条相交直线，

∴，又，∴

（2）如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，

∴，，∴，即异面直线和所成角的余弦值为

（3）可取为平面的法向量，设平面的法向量为，则，又∵，，∴，不妨取，则，因此有

∴二面角的平面角的余弦值为