Question

【题目】已知等差数列的前项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，若对一切正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围；.

（3）是否存在正整数，使得。成等比数列？若存在，求出所有的；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）不存在.

【解析】

（1）由已知条件利用等差数列的通项公式和前项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列的前项和；

（2）当为偶数时，设，，求出，进而求出；当为奇数时，设，，求出，进而求出，由此能求出的取值范围；

（3）假设存在正整数，，使得，，成等比数列，由此利用已知条件推导出等式不成立，从而得到不存在正整数，，使得，，成等比数列．

（1）设数列的公差为．

，，

，解得，，

；

（2）当为偶数时：，不等式

分离参数得到研究右边函数性质，

此为单调递增，所以

当为奇数时：，不等式

，从而

综上：；

（3）假设存在正整数，()，使得/span>，，成等比数列，
则，即，

∴，即，

即.

，，，∴．

是整数，等式不成立，

故不存在正整，，使得，，成等比数列.