Question

【题目】给定一个数列，在这个数列里，任取项，并且不改变它们在数列中的先后次序，得到的数列称为数列的一个阶子数列．

已知数列的通项公式为（为常数），等差数列是

数列的一个3阶子数列．

（1）求的值；

（2）等差数列是的一个 阶子数列，且

（为常数，，求证：；

（3）等比数列是的一个 阶子数列，

求证：．

Answer 1

【答案】（1）0；（2）证明见解析；（3）证明见解析．

【解析】

试题（1）由成等差数列得，可解得；（2）是等差数列，由，知，从而，这样数列是递减的，但它是的子数列，因此各项就均为正，由此有，从而有，可得结论；（3）与（2）设，类似得，从而，＝＝．下面要证，这可由证明函数的单调性得其最大值得到结论．

试题解析：（1）因为成等差数列，所以．

又因为，，，

代入得，解得．

（2）设等差数列的公差为．

因为，所以，

从而．

所以．

又因为，所以．

即．所以．

又因为，所以．

（3）设 （），等比数列的公比为．

因为，所以．

从而．

所以

＝

＝．

设函数．

当时，函数为单调增函数．

因为当，所以．所以．

即．

【注：若有其它解法，请酌情给分】