Question

【题目】已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e为自然对数的底数).
（1）判断函数f(x)的单调性与奇偶性；
（2）是否存在实数t ， 使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f(x)＝ex－ x ， 且y＝ex是增函数，
y＝－ x是增函数，∴f(x)是增函数．
由于f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数
（2）解：由(1)知f(x)是增函数和奇函数，
∴f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R恒成立
f(x2－t2)≥f(t－x)对一切x∈R恒成立
x2－t2≥t－x对一切x∈R恒成立
t2＋t≤x2＋x对一切x∈R恒成立
2≤ 对一切x∈R恒成立
2≤0t＝－ .
即存在实数t＝－ ，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x都成立
【解析】本题主要考查函数的性质单调性和奇偶性，以及恒成立问题。（1）根据已知条件可知复合函数的单调性：增+增=增，根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性。（2）把不等式恒成立的问题进行转化，一步步地进行脱衣，去掉括号，求解不等式即可。