Question

【题目】如图，已知四棱锥，，侧面是边长为4的等边三角形，底面为菱形，侧面与底面所成的二面角为.

（1）求点到平面的距离；

（2）若为的中点，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）3.（2）

【解析】

试题分析：（1）取的中点，则，因为，所以,从而为侧面与底面所成的二面角的平面角，即，再作 ，垂足为点，因此（2）根据垂直关系，建立空间直角坐标系：以为坐标原点，使轴与平行，所在直线分别为轴，求出各点坐标，利用方程组解出各面法向量，最后根据向量数量积求夹角，再由二面角与法向量夹角关系确定结论

试题解析：（1）解：如图，作平面，垂足为点，

连接与交于点，连接.

∵，∴.

∵，∴.

∴点为的中点，所以.

由此知，为侧面与底面所成的二面角的平面角，

∴，.

由已知可求得：，

∴，

即点到平面的距离为3.

（2）如图以为坐标原点，使轴与平行，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，∴，，，

∴，，.

设平面的法向量为，则，令，则

，∴.

设平面的法向量为，则，

令，则，∴，

.

记二面角为，，

即二面角的正弦值为.