Question

【题目】已知抛物线，为其焦点，为其准线，过任作一条直线交抛物线于两点，、分别为、在上的射影，为的中点，给出下列命题：

（1）；（2）；（3）；

（4）与的交点的轴上；（5）与交于原点.

其中真命题的序号为_________.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）（4）（5）

【解析】

（1）由、在抛物线上，根据抛物线的定义可知，，从而有相等的角，由此可判断；

（2）取的中点，利用中位线即抛物线的定义可得，从而可得；

（3）由（2）知，平分，从而可得，根据，利用垂直于同一直线的两条直线平行，可得结论；

（4）取与轴的交点，可得，可得出的中点在轴上，从而得出结论；

（5）设直线的方程为，设点、，证明出、、三点共线，同理得出、、三点共线，由此可得出结论.

（1）由于、在抛物线上，且、分别为、在准线上的射影，

根据抛物线的定义可知，，则，，

，，则，

即，，则，即，（1）正确；

（2）取的中点，则，，即，

（2）正确；

（3）由（2）知，，，

，，，

平分，，由于，，（3）正确；

（4）取与轴的交点，则，轴，可知，

，即点为的中点，由（3）知，平分，过点，

所以，与的交点的轴上，（4）正确；

（5）设直线的方程为，设点、，则点、，

将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得，，

由韦达定理得，，

直线的斜率为，

直线的斜率为，，

则、、三点共线，同理得出、、三点共线，

所以，与交于原点，（5）正确.

综上所述，真命题的序号为：（1）（2）（3）（4）（5）.

故答案为：（1）（2）（3）（4）（5）.