Question

【题目】如图，平行四边形ABCD中，，E、F分别为AD，BC的中点．以EF为折痕把四边形EFCD折起，使点C到达点M的位置，点D到达点N的位置，且．

（1）求证：平面NEB；

（2）若，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）．

【解析】

（1）记，连接NO，证明即可证明结论；

（2）先证明平面ABFE，再以直线OE为x轴，直线OA为y轴，直线ON为轴建立空间直角坐标系，求出平面MBE的法向量，平面NBE的一个法向量，代入向量的夹角公式，即可求得二面角的余弦值．

（1）证明：记，连接NO，

可知四边形ABFE是菱形，所以，且O为AF，BE的中点，

又，所以，

又因为，NO，平面NEB，

所以平面NEB.

（2）因为，所以，，

所以，

所以，

所以，所以，

又由（1）可知：，且，AF，平面ABFE，

所以平面ABFE，以直线OE为x轴，直线OA为y轴，直线ON为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，所以，，

设是平面MBE的法向量，则

，取，得，

又平面NBE的一个法向量为，

所以，

所以二面角的余弦值为．