如图,在长方体ABCD
A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上.
(1)求异面直线D1E与A1D所成的角;
(2)若二面角D1ECD的大小为45°,求点B到平面D1EC的距离.
解:建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)由A1(1,0,1),得
=(1,0,1),
设E(1,a,0),又D1(0,0,1),则
=(1,a,-1).
∵·=1+0-1=0,
∴⊥,
则异面直线D1E与A1D所成的角为90°.
(2)m=(0,0,1)为平面DEC的一个法向量,
设n=(x,y,z)为平面CED1的法向量,则
cos<m,n>=
=
=cos 45°
=
,
∴z2=x2+y2,①
由C(0,2,0),得
=(0,2,-1),
则n⊥,
即n·=0,
∴2y-z=0,②
由①、②,可取n=(
,1,2),
又
=(1,0,0),
所以点B到平面D1EC的距离
d=
=
=
.
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如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,H分别为DE,AF的中点,将△ABC沿DE,EF,DF折成正四面体P
DEF,则四面体中异面直线PG与DH所成的角的余弦值为 .
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如图①所示,在直角三角形ABC中,∠ACB=30°,∠ABC=90°,D为AC的中点,E为BD的中点,AE的延长线交BC于点F,将△ABD沿BD折起,二面角A
BDC的大小记为θ,如图②所示.
(1)求证:平面AEF⊥平面BCD;
(2)当cos θ为何值时,AB⊥CD.
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在空间中,已知
=(2,4,0),
=(-1,3,0),则异面直线AB与DC所成角θ的大小为
( )
(A)45° (B)90° (C)120° (D)135°
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已知点P(x0，y0)，圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)，直线l：x0x＋y0y＝r2，有以下几个结论：①若点P在圆O上，则直线l与圆O相切；②若点P在圆O外，则直线l与圆O相离；③若点P在圆O内，则直线l与圆O相交；④无论点P在何处，直线l与圆O恒相切．其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
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某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°＝
；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°＝；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°＝；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°＝.
将该同学的发现推广为三角恒等式：________________________________________________________________________.
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已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝c.给出下列命题：
①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；
②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；
③若a∥b，则必有a∥c；
④若a⊥b，a⊥c，则必有α⊥β.
其中真命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
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