如图①所示,在直角三角形ABC中,∠ACB=30°,∠ABC=90°,D为AC的中点,E为BD的中点,AE的延长线交BC于点F,将△ABD沿BD折起,二面角ABDC的大小记为θ,如图②所示.
(1)求证:平面AEF⊥平面BCD;
(2)当cos θ为何值时,AB⊥CD.
(1)证明:在题图①中,∵D为Rt△ABC斜边AC的中点,∠ACB=30°,∴AD=AB.
又E为BD的中点,∴BD⊥AE,BD⊥EF.
在题图②中,BD⊥AE,BD⊥EF,AE∩EF=E,
∴BD⊥平面AEF.
又BD⊂平面BCD,∴平面AEF⊥平面BCD.
(2)解:过A作AO⊥EF,交EF的延长线于点O,连接BO交CD的延长线于点G.
由(1)知平面AEF⊥平面BCD,
∴AO⊥平面BCD,
∴BO即为AB在平面BCD上的射影.
要使AB⊥CD,只需BG⊥CD.
∴∠AEF=θ,∠AEO=180-θ.
△A′BD为正三角形,且BG⊥CD.
因此,G为A′D的中点,即O为△A′BD的重心.
∴cos ∠AEO==,即cos(180°-θ)=,
∴当cos θ=-时,AB⊥CD.
科目:高中数学 来源: 题型:
已知正三棱锥(底面是正三角形,各侧棱都相等的棱锥)VABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示.
(1)画出该三棱锥的直观图;
(2)求出侧视图的面积.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
设α,β是两个不同的平面,l,m为两条不同的直线,命题p:若α∥β,l⊂α,m⊂β,则l∥m;命题q:若l∥α,m⊥l,m⊂β,则α⊥β.下列命题为真命题的是( )
(A)p∨q (B)p∧q (C)(p)∨q (D)p∧(q)
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
已知l,m,n为两两垂直的三条异面直线,过l作平面α与直线m垂直,则直线n与平面α的关系是( )
(A)n∥α (B)n∥α或n⊂α
(C)n⊂α或n与α不平行 (D)n⊂α
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,).若S1,S2,S3分别为三棱锥DABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则( )
(A)S1=S2=S3 (B)S2=S1且S2≠S3
(C)S3=S1且S3≠S2 (D)S3=S2且S3≠S1
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上.
(1)求异面直线D1E与A1D所成的角;
(2)若二面角D1ECD的大小为45°,求点B到平面D1EC的距离.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
已知三棱锥S ABC的三视图如图K381所示.在原三棱锥中给出下列结论:
①BC⊥平面SAC;②平面SBC⊥平面SAB;③SB⊥AC.
其中,正确的结论是________(填序号).
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com