Question

【题目】如图所示的几何体QPABCD为一简单组合体，在底面ABCD中，∠DAB＝60°，AD⊥DC，AB⊥BC，QD⊥平面ABCD，PA∥QD，PA＝1，AD＝AB＝QD＝2.

(1)求证：平面PAB⊥平面QBC；

(2)求该组合体QPABCD的体积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】(1)证明：因为QD⊥平面ABCD，PA∥QD，所以PA⊥平面ABCD.

又BC平面ABCD，所以PA⊥BC，因为AB⊥BC，且AB∩PA＝A，

所以BC⊥平面PAB，又BC平面QBC，所以平面PAB⊥平面QBC.

(2)平面QDB将几何体分成四棱锥B－PADQ和三棱锥Q－BDC两部分，

过B作BO⊥AD，因为PA⊥平面ABCD，BO平面ABCD，

所以PA⊥BO，又AD⊥OB，PA∩AD＝A，

所以BO⊥平面PADQ，即BO为四棱锥B－APQD的高，

因为BO＝，S四边形PADQ＝3，

所以VB－PADQ＝·BO·S四边形PADQ＝，

因为QD⊥平面ABCD，且QD＝2，

又△BCD为顶角等于120°的等腰三角形，BD＝2，S△BDC＝，

所以VQ－BDC＝·S△BDC·QD＝，

所以组合体QPABCD的体积为.