Question

【题目】已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆短轴的两个端点与点构成正三角形.

(1)求椭圆的方程；

(2)若过点的直线与椭圆交于不同的两点，试问在轴上是否存在定点，使恒为定值？若存在，求出的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在点，使为定值.

【解析】试题分析：（1）求出抛物线的焦点坐标，可得，再求出的值，即可求椭圆的方程；（2）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，即可求得结论.

试题解析：(1)由题意，知抛物线的焦点为，所以，因为椭圆短轴的两个端点与构成正三角形，所以，可求得，故椭圆的方程为.

(2)假设存在满足条件的点，当直线的斜率存在时设其斜率为k，则的方程为，由，得，设，，易得：，，则，，所以 要使为定值，令，即，此时.

当直线l的斜率不存在时，不妨取，由，可得，，所以，综上，存在点，使为定值.