Question

【题目】如图，半圆的直径，为圆心，，为半圆上的点.

（Ⅰ）请你为点确定位置,使的周长最大，并说明理由；

（Ⅱ）已知，设，当为何值时，

（ⅰ）四边形的周长最大，最大值是多少?

（ⅱ）四边形的面积最大，最大值是多少?

Answer 1

【答案】（Ⅰ）点是半圆的中点，理由见解析； （Ⅱ）（ⅰ）时，最大值（ⅱ）时，最大面积是

【解析】

(Ⅰ)设,,,法一:依题意有,再利用基本不等式求得,从而得出结论;法二:由点在半圆上,是直径,利用三角函数求出,,再利用三角函数的性质求出结论;

(Ⅱ)(ⅰ)利用三角函数值表示四边形的周长,再求的最大值;(ⅱ)利用三角函数值表示出四边形的面积,再结合基本不等式求的最大值.

(Ⅰ)点在半圆中点位置时,周长最大.理由如下:

法一:因为点在半圆上,且是圆的直径,

所以,即是直角三角形,

设,,,显然a,b,c均为正数,则,

因为,当且仅当时等号成立,

所以,

所以,

所以的周长为,当且仅当时等号成立,

即为等腰直角三角形时,周长取得最大值,此时点是半圆的中点.

法二:因为点在半圆上,且是圆的直径,

所以,即是直角三角形,

设,,,,

则,,

,

因为,所以,

所以当,即时,

周长取得最大值,此时点是半圆的中点.

(Ⅱ)(ⅰ)因为,所以,

所以,,

设四边形的周长为,

则

,

显然,所以当时,取得最大值;

(ⅱ)过作于,

设四边形的面积为,四边形的面积为,的面积为,则

,

所以

;

当且仅当,即时,等号成立,

显然,所以,所以此时,

所以当时,,即四边形的最大面积是.