Question

【题目】定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足f（x0）= ，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0而是它的一个均值点． 例如y=|x|是[﹣2，2]上的“平均值函数”，0就是它的均值点．给出以下命题：
①函数f（x）=sinx﹣1是[﹣π，π]上的“平均值函数”；
②若y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，则它的均值点x0≤ ；
③若函数f（x）=x2+mx﹣1是[﹣1，1]上的“平均值函数”，则实数m∈（﹣2，0）；
④若f（x）=lnx是区间[a，b]（b＞a≥1）上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，则lnx0＜ ．
其中的真命题有（写出所有真命题的序号）．

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：①∵ =0，而f（ ）=0， ∴f（x）=sinx﹣1是[﹣π，π]上的“平均值函数”，故①正确；②若f（x）=0，则 =0，显然（a，b）上的任意1个数都是f（x）的均值点，故②错误；③若函数f（x）=x2+mx﹣1是[﹣1，1]上的“平均值函数”，
则区间（﹣1，1）上存在x0使得f（x0）= =m，
即x02+mx0﹣1=m，∴m= =﹣x0﹣1，
∵x0∈（﹣1，1），∴m∈（﹣2，0）．故③正确；④若f（x）=lnx是区间[a，b]（b＞a≥1）上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，
∴lnx0= = ，则lnx0﹣ = ﹣ ．
令 =t，则b=at2（t＞1），
∴ ﹣ = ﹣ = （ ）= （2lnt﹣t+ ），
令g（t）=2lnt﹣t+ ，则g′（t）= = = ＜0，
∴g（t）在（1，+∞）上是减函数，
∴g（t）＜g（1）=0，
∴ ﹣ ＜0，即lnx0＜ ，故④正确．
所以答案是：①③④．