Question

【题目】已知定义域为的函数的图象为曲线，曲线在点的切线为（其中）．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）证明：（i）；

（ii）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（）证明见解析，（ii）证明见解析

【解析】

（Ⅰ）根据导数的几何意义可写出曲线在处的切线方程，进而求得实数的值；

（Ⅱ）（i）令，对求导，利用导数求函数的单调性，即可得证；

（ii）当时，证明，构造，求导得到单调区间，计算最值得证，即，联合（i）中结论得到答案.

（Ⅰ），于是，

所以曲线在处的切线方程为，

整理得，所以可得．

（Ⅱ）证明：（）令，则，

易知当时，单调递增；当时，单调递减，

所以，所以．

（ii）由（Ⅰ）可知，令，则，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，所以在上单调递增，

所以．

因为过点，且在处的切线方程为，

故可猜测：

当时，的图象恒在切线的上方．

下证：当时，．

设，则，

令，则，/p>

所以在上单调递减，在上单调递增，

又，所以，

所以存在，使得，

所以当时，；当时，，

故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

又，所以，当且仅当时取等号，

故．

又由（i）可得，即，当且仅当时，等号成立．