Question

【题目】如图所示，在平面直角坐标系中，已知椭圆：（），，，，是椭圆上的四个动点，且，，线段与交于椭圆内一点.当点的坐标为，且，分别为椭圆的上顶点和右顶点重合时，四边形的面积为4.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）证明：当点，，，在椭圆上运动时，（）是定值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）是定值

【解析】

【试题分析】（1）依据题设条件建立方程组，然后解方程组求出，；（2）先设四点坐标分别为，，，，然后将点，的坐标代入椭圆方程得：，.再两式相减得：，求得，进而得到，①

将点，的坐标代入椭圆方程，同理可得：，最后设（），得，即，即，，②。再设，同理可得：，，③。由①②③得： ，

整理得： ，进而得到，从而求出。

解：（Ⅰ）由题可知：，解得，，

所以椭圆的标准方程.

（Ⅱ）设，，，，

将点，的坐标代入椭圆方程得：，.

两式相减得：，

∵，∴，①

将点，的坐标代入椭圆方程，同理可得：，

设（），得，

即，即，，②

设，同理可得：，，③

由①②③得： ，

整理得： ，

即，

∵，，∴，

所以是定值.