Question

【题目】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠ABC＝90°，，BC＝1， ，∠ACD＝60°，E为CD的中点．

(1)求证：BC∥平面PAE；

(2)求点A到平面PCD的距离．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】(1)证明：∵AB＝，BC＝1，∠ABC＝90°，

∴AC＝2，∠BCA＝60°.

在△ACD中，∵AD＝2，AC＝2，∠ACD＝60°，

∴AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos∠ACD，

∴CD＝4，∴AC2＋AD2＝CD2，∴△ACD是直角三角形，

又E为CD中点，∴AE＝CD＝CE，

∵∠ACD＝60°，∴△ACE为等边三角形，

∴∠CAE＝60°＝∠BCA，∴BC∥AE，

又AE平面PAE，BC平面PAE，∴BC∥平面PAE.

(2)设点A到平面PCD的距离为d，根据题意可得，

PC＝2，PD＝CD＝4，∴S△PCD＝2，

∵VP－ACD＝VA－PCD，∴·S△ACD·PA＝·S△PCD·d，

∴××2×2×2＝×2d，∴d＝，

∴点A到平面PCD的距离为.