Question

已知函数是增函数．
（I）求实数p的取值范围；
（II）设数列{a_n}的通项公式为，前n项和为S，求证：S_n≥2ln（n+1）．

Answer 1

【答案】分析：（I）求得函数的定义域，利用函数为增函数，可得导数大于0，再换元，利用分离参数法，求函数的最值，即可求得实数p的取值范围；
（II）先证明，对x≥1恒成立，从而可得，再利用对数的运算性质，即可证得结论．
解答：（I）解：由题意，，∴x≥1，∴函数f（x）的定义域为[1，+∞），
由函数f（x）是增函数，可知对x＞1恒成立，…（3分）   
令，则，注意到t²+1≥2t＞0，所以，即，
所以p≥1为所求．…（6分）  
（II）证明：由（I）知，是增函数，
所以f（x）≥f（1）=0，即，对x≥1恒成立．…（8分）
注意到，所以．…（10分）
∴
==ln（n+1）²=2ln（n+1）
即S_n≥2ln（n+1）成立…（12分）
点评：本题考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查利用分离参数法求参数的范围，考查学生的计算能力，属于中档题．