Question

【题目】已知函数f(x)＝ex＋ax2－e2x.

(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间；

(2)若x>0时，总有f(x)>－e2x，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) f(x)在(－∞，2)上单调递减；f(x)在(2，＋∞)上单调递增；(2)

【解析】试题分析：

(1)由导函数与斜率的关系可得,则函数f(x)在(－∞，2)上单调递减；f(x)在(2，＋∞)上单调递增；

(2)分离系数后构造新函数，结合新函数的特征可得 实数a的取值范围是.

试题解析：

(1)由f′(x)＝ex＋2ax－e2，得

y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率k＝4a＝0，则a＝0.

此时f(x)＝ex－e2x，f′(x)＝ex－e2.

由f′(x)＝0，得x＝2.

当x∈(－∞，2)时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，2)上单调递减；

当x∈(2，＋∞)时， f′(x)>0，f(x)在(2，＋∞)上单调递增．

(2)由f(x)>－e2x，得a>－.设g(x)＝－，x>0，则g′(x)＝.

∴当0<x<2时，g′(x)>0，g(x)在(0,2)上单调递增；

当x>2时，g′(x)<0，g(x)在(2，＋∞)上单调递减．

∴g(x)≤g(2)＝－.因此实数a的取值范围为.