Question

【题目】已知函数，.

（1）对任意的，成立，求实数的取值范围；

（2）若，证明：.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)见解析.

【解析】

（1）解法一：构造函数，求出及，然后分类讨论。

解法二：当时，恒成立；当时，通过分离得到，令，转化为求在的最小值。

（2）由分析法要证，即证：继而由（1）的解法二知：在时恒有，得证.

(1)解法一：令，

，

①当时，对于任意的，，

在为增函数，，

在为增函数，，即，恒成立，满足.

②当时，令，得

则当时，为减函数，此时，

故函数为减函数，，

即当时，有，矛盾.

综上，实数的取值范围是：.

解法二：当时，恒成立；

当时，即为，

转化为求在的最小值，

，令，，

由知：在为增函数，

故在为增函数，

即，函数在为增函数，故没有最小值.

又由诺必达法则知：

，故.

（2）证明：要证，即证：，

，，故即证：，左边分子分母同除以，

即证：

令，则，即证，即证：.

而由（1）的解法二知：在时恒有，得证.