Question

【题目】在△ABC中，已知 ，sinB=cosAsinC，S△ABC=6，P为线段AB上的点，且 ，则xy的最大值为 ．

Answer 1

【答案】3
【解析】解：△ABC中，设AB=c，BC=a，AC=b，∵sinB=cosAsinC，sin（A+C）=sinCcosnA，

即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA．

∴sinAcosC=0，∵sinA≠0，∴cosC=0，C=90°．

∵ =9，S△ABC=6，∴bccosA=9， bcsinA=6，∴tanA= ．

根据直角三角形可得sinA= ，cosA= ，bc=15，∴c=5，b=3，a=4．

以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0），A（3，0），B（0，4）．

P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得 =λ +（1﹣λ） =（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1）．

设 = ， = ，则| |=| |=1，且 =（1，0）， =（0，1）．

∴ =（x，0）+（0，y）=（x，y），可得x=3λ，y=4﹣4λ则4x+3y=12，

12=4x+3y≥2 ，解得xy≤3，

故所求的xy最大值为：3．

故答案为 3．

由条件求得bccosA=9， bcsinA=6，tanA= ，可得c=5，b=3，a=4，以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0），A（3，0），B（0，4）．设 = ， = ，则 =（x，y），可得x=3λ，y=4﹣4λ则4x+3y=12，利用基本不等式求解最大值．