Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面，，底面是梯形，，，，为棱上一点.

(1)若点为的中点，证明：平面.

(2) ，试确定的值使得二面角的大小为.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）取的中点，连接，，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；

（2）先由题意得到，，两两垂直，以为原点，，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，根据，求出，分别求出平面与平面的一个法向量，根据向量夹角公式，以及二面角的大小，即可求出结果.

(1)如图，取的中点，连接，.

∵点为的中点，∴，.

又，，

∴，，∴四边形是平行四边形.∴.

又平面，平面，∴平面.

(2)由平面，，可得，，两两垂直，以为原点，，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，.

设，则，.

∵，∴∴.

又易证平面，

∴是平面的一个法向量.

设平面的法向量为，

则即，解得

令，则.

∵二面角的大小为，

∴|，

解得：.

∵点在棱上，∴，∴