Question

【题目】已知椭圆过点，且其离心率为，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别相交于，两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在圆心在原点的定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；定圆

【解析】

(1)根据椭圆的离心率和椭圆经过的点的坐标,代入椭圆方程中,求出a、b,即可得到椭圆C的方程.
(2)根据条件，分直线的斜率不存在和直线的斜率不存在两种情况分别求出定圆的方程，,当直线的斜率存在时,设直线方程为,联立方程组,令，,利用韦达定理,结合.推出,利用直线与圆相切,求出圆的半径,得到圆的方程,即可得到结果.

解：（1）椭圆经过点，∴，又∵，解之得，.

所以椭圆的方程为；

（2）当直线的斜率不存在时，由对称性，设，.

∵，在椭圆上，∴，∴.

∴到直线的距离为，所以.

当直线的斜率存在时，设的方程为，

由得.

设，，则，.

∵，∴，

∴.

∴，即.

∴到直线的距离为，

故存在定圆与直线总相切.