Question

【题目】如图，四棱锥中，是边长等于2的等边三角形，四边形是菱形，，，是棱上的点，.，分别是，的中点.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】

（1）由直线与平面平行的判定定理，即可证明平面；

（2）先证明、、两两垂直，然后以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量，由向量夹角余弦值即可确定线面角的正弦值.

（1）取中点，连结，，因为，是的中点，所以，，又，不在平面内，在平面内，所以平面，平面，又交于点；所以平面平面，∴平面.

（2）∵，，故.

又，，，从而.

从，可得平面

平面平面，，平面

以、、为、、轴建系得

，，，，, 则，

,,

设平面的法向量为，则，即，令，

则，记直线与平面所成角为，所以有

，

所以直线与平面所成角的正弦值为.